Exercice 2

Sujet

Jeux de mains
Les candidats des séries autres que \(S\) ne traiteront que la question \(A\).
A. Ce jeu se joue à deux. Chaque joueur à tour de rôle montre à l'autre un certain nombre non nul de doigts de sa main droite, mais il s'agit de faire en sorte que le nombre total des doigts montrés, depuis le début de la partie, soit à chaque étape un nombre premier.
Si un joueur ne peut plus jouer, il a perdu.

1. Ecrire tous les nombres premiers inférieurs à 50 .
2. Y a-t-il un gagnant?
3. Le premier joueur a trois possibilités au premier tour. Etudier ces trois choix possibles et dire si, selon ce choix, un des deux joueurs peut trouver une stratégie pour gagner à coup sûr.
4. Olympe et Max jouent à ce jeu pour la première fois et n'ont a priori aucune stratégie : c'est Olympe qui commence. A-t-elle

• Plus d'une chance sur deux de gagner?
• Moins d'une chance sur deux de gagner ?
• Une chance sur deux de gagner ?
  B. La règle du jeu reste la même, si ce n'est que chaque joueur montre cette fois-ci un certain nombre non nul de doigts de ses deux mains.

1. Y a-t-il toujours un gagnant?
2. Une règle supplémentaire est imposée : la suite des nombres premiers successivement obtenus au cours d'une partie doit être une suite de nombres premiers consécutifs.
   Olympe (encore elle!) joue à ce nouveau jeu pour la première fois et n'a a priori aucune stratégie : c'est elle qui commence. A-t-elle

• Plus d'une chance sur deux de gagner?
• Moins d'une chance sur deux de gagner ?
• Une chance sur deux de gagner ?