Sujet
Des rayons perdus
Dans le carré suivant de côté 1 , on a dessiné 3 cercles tangents entre eux, un grand, un moyen et un petit. Le grand cercle et le cercle moyen sont tangents à 2 côtés du carré, le petit cercle est tangent à un côté. Le centre du grand cercle et le centre du petit sont sur une même droite parallèle à un côté du carré.
- Donner la distance entre les centres du grand et du petit cercle.
- Pascale affirme : «La distance entre les centres du moyen et du grand cercle est \(2-\sqrt{2} \gg\). Qu'en pensez-vous?
- Déterminer la distance entre les centres du moyen et du petit cercle.
- Peut-on trouver le rayon de ces trois cercles?
On désigne par :
\(\mathrm{O}_{1}\) le centre du grand cercle,
\(\mathrm{O}_{2}\) le centre du moyen,
\(\mathrm{O}_{3}\) le centre du petit.
\(R_{1}, R_{2}\), et \(R_{3}\) sont les rayons respectifs de ces cercles.
\(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) et D sont les sommets du carré.
- \(\mathrm{O}_{1}\) et \(\mathrm{O}_{2}\) se trouvent sur une parallèle au côté du carré : on a ainsi \(2 R_{1}+2 R_{3}=1\).
On en déduit la diatance : \(O_{1} O_{3}=R_{1}+R_{3}=\frac{1}{2}\)
2. Le grand cercle etant tangent aux côtés \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{AD}]\) du carre, \(\mathrm{O}_{1}\) est l'un des sommets du carré de cote \(R_{1}\) (a gauche et en haut du grand carré) dont [ \(\mathrm{AO}_{1}\) ] est une diagonale. De même, le petit cercle est tangent aux côtés \([\mathrm{BC}]\) et \([\mathrm{DC}]\) du carré et \(\mathrm{O}_{2}\) est l'un des sommets du carré de côté \(R_{2}\). (a droite et en bas du carré ABCD ) dont \(\left[\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}\right]\) est une diagonale.