Exercice 2 — Énoncé — Olympiades 2010 Caen

Sujet

On découpe dans une feuille un carré ABCD de 20 cm de côté.
Soit \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~B}_{1}, \mathrm{C}_{1}, \mathrm{D}_{1}\) les milieux respectifs des segments \([\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{CD}]\) et \([\mathrm{DA}]\).

a. Pourquoi \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}\) est-il un carré?
b. Quelle est son aire ?
On détermine de même les points \(\mathrm{A}_{2}, \mathrm{~B}_{2}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{D}_{2}\) les milieux respectifs des segments \(\left[\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}\right]\), [ \(\left.\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}\right]\), \(\left[\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}\right]\) et \(\left[\mathrm{D}_{1} \mathrm{~A}_{1}\right]\) puis, de même pour les points \(\mathrm{A}_{3}, \mathrm{~B}_{3}, \mathrm{C}_{3}, \mathrm{D}_{3} \ldots\)
On note \(c_{0}\) la longueur du carré \(\mathrm{ABCD}, c_{1}\) la longueur du carré \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}\) et \(c_{n}\) la longueur du carré \(\mathrm{A}_{n} \mathrm{~B}_{n} \mathrm{C}_{n} \mathrm{D}_{n}\)
a. Calculer les valeurs exactes de \(c_{2}\) et \(c_{3}\).
b. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(c_{n}\) soit inférieur ou égal à \(0,1 \mathrm{~mm}\).
c. On note \(a_{0}\) l'aire du carré \(\mathrm{ABCD}, a_{1}\) l'aire du carré \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}, a_{n}\) l'aire du carré \(\mathrm{A}_{n} \mathrm{~B}_{n} \mathrm{C}_{n} \mathrm{D}_{n}\) et on note pour \(n \geqslant 1 S_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}\).
Calculer \(a_{0}, a_{1}, a_{2}\) et \(a_{3}\) ainsi que \(S_{1}, S_{2}, S_{3}\) et \(S_{4}\).
d. Existe-t-il un entier \(n\) tel que \(S_{n}\) soit supérieur ou égal à 780 ? Supérieur ou égal à 800 ?

On pourra utiliser la fiormule :
pour \(x \neq 1,1+x+\cdots+x^{n-1}=\frac{1-x^{n}}{1-x}\).
3. Le carré initial ABCD est tracé sur une feuille de papier d'épaisseur \(0,1 \mathrm{~mm}\).

Par pliage, on construit successivement les carrés \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}\) puis \(\mathrm{A}_{2} \mathrm{~B}_{2} \mathrm{C}_{2} \mathrm{D}_{2}\) etc.
a. Quelle serait la hauteur théorique de la feuille si on veut construire par cette méthode le carré \(\mathrm{A}_{20} \mathrm{~B}_{20} \mathrm{C}_{20} \mathrm{D}_{20}\) ?
b. Que pensez-vous du résultat obtenu?

a. \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}\) et \(\mathrm{B}_{1} \mathrm{D}_{1}\) sont deux axes de symétrie orthogonaux.
b. L'aire de \(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}\) est égale à \(A_{1} B_{1}^{2}=2 A_{1} B^{2}=200 \mathrm{~cm}^{2}\)
a. \(c_{0}=80, c_{1}=40 \sqrt{2}, c_{2}=c_{1} \frac{\sqrt{2}}{2}=40, c_{3}=40 \frac{\sqrt{2}}{2}=20 \sqrt{2}\).
b. \(c_{n}=80\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n} \quad ; c_{n} \leqslant 0.01\),
équivaut à \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n} \leqslant \frac{0.01}{80}\)
ou \(\quad 2^{n / 2} \geqslant \frac{80}{0.01}=8000\)
ou \(\quad 2^{n} \geqslant 64 \times 10^{6}=2^{6} \times 10^{6}\).
Or \(2^{26}=2^{6} \times 2^{20}=2^{6} \times 1024^{2}>2^{6} \times 10^{6}\)
tandis que \(2^{25}=2^{5} \times 2^{10} \times 2^{9}=2^{6} \times 1024 \times 512<2^{6} \times 10^{6}\),
Le plus petit entier \(n\) tel que \(c_{n}\) soit inférieur à 0.1 mm est donc 26 .
c. \(a_{0}=400, a_{1}=\frac{400}{2}=200, a_{2}=\frac{200}{2}=100, a_{3}=\frac{100}{2}=50\)
d'où \(S_{1}=400, S_{2}=600, S_{3}=700, S_{4}=750\).