Exercice 4 — Énoncé — Olympiades 2010 Bordeaux

Sujet

On considère la suite bâtie de la manière suivante :

\[ L_{0}=(1): L_{1}=\left(1, \frac{1}{2}\right) ; L_{2}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) ; L_{3}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right), \ldots \]

chaque nouvelle séquence étant obtenue en recopiant la précédente et en y rajoutant les mêmes termes divisés par 2.

Quelle est la plus petite valeur \(n\) pour laquelle la séquence \(L_{n}\) contient plus de 2010 éléments?
Pour cette valeur de \(n\);
a. Quel est le \(2010{ }^{\text {ème }}\) élément de \(L_{n}\) ?
b. Quelle est la somme des éléments de \(L_{n}\) ? On pourra commencer par calculer celles de \(L_{1}, L_{2}\) et \(L_{3}\).

La plus petite valeur de \(n\) pour laquelle la séquence \(L_{n}\) contient plus de 2010 éléments est \(n=11\).
a.

\[ \begin{aligned} \mathrm{U}_{2010} & =\frac{1}{2} \mathrm{U}_{(24-38)}=\frac{1}{4} \mathrm{U}_{(256-38)} \\ & =\frac{1}{16} \mathrm{U}_{(128-38)}=\frac{1}{32} \mathrm{U}_{(64-38)}=\frac{1}{32} \mathrm{U}_{26} \\ \mathrm{U}_{26} & =\frac{1}{2} \mathrm{U}_{(16-6)}=\frac{1}{2} \mathrm{U}_{10}=\frac{1}{8} . \end{aligned} \]

Donc \(\mathrm{U}_{2010}=\frac{1}{256}\).
b. \(S_{n+1}=\frac{3}{2} S_{n} ; S_{11}=\left(\frac{3}{2}\right)^{11}\).