Olympiades · Académie Bordeaux · 2010 · Série S
ArithmétiqueInégalités
Soient \(a, b, c\) trois entiers naturels distincts et supérieurs ou égaux à 2 . On forme les huit combinaisons possibles de ces trois nombres en utilisant des parenthèses, des additions ou des multiplications. L'objectif est de trouver des familles \((a, b, c)\) pour lesquels deux combinaisons donnent le même résultat.
A. Ecrire ces combinaisons dans chacun des cas suivants :
a. \(a=2, b=3, c=4\)
b. \(a=4, b=7, c=8\)
c. \(a=6, b=7, c=8\)
d. \(a=6, b=11, c=12\).
Sur ces exemples, quelles sont les combinaisons qui donnent le même résultat?
En déduire une première famille d'entiers qui répondent au problème. Le prouver.
B. On se propose de trouver d'autres familles \((a, b, c)\) telles que \((b+c) a=b c+a\).
a. Déterminer \(c\) lorsque \(a=p\) et \(b=p+1\) où \(p\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
b. Déterminer \(b\) lorsque \(a=2 p\) et \(c=6 p-2\) où \(p\) est un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
c. En déduire deux autres familles solutions du problème initial.
C . On se propose de chercher tous les entiers \(a, b, c\) supérieurs ou égaux à 2 vérifiant :
\[
(S):\left\{\begin{array}{l}
b a. Prouver que \(a
c. En déduire toutes les solutions de ( \(S\) ).
A 1. Dans les exemples a , b et d , on trouve que \(a(b+c)=a+b c\). Pas de résultat identique dans le c.
2. Ces trois possibilités correspondent à des triplets de la forme ( \(a, 2 a-1,2 a\) ). On vérifie que ces triplets sont solutions.
B. 1. \(c=p^{2}\)
2. \(b=3 p\).
3. \(\left(p, p+1, p^{2}\right)\) et \((2 p, 3 p, 6 p-2)\).
C. 1. \(a=\frac{b c}{b+c-1}\); or \(c
3. \(\frac{c}{a}\) est donc minimum quand il est égal à 2 . Si \(\frac{c}{a}=2\), alors, \(c=2 a\), donc \(a+2 a b=a(b+2 a)\), donc \(a(2 a-b-1)=0\), et \(b=2 a-1\).
On a bien \(b