Sujet
- On considère un ensemble E du plan contenant au moins trois points et tel que les distances entre deux quelconques de ses points soient égales.
a. Donner un exemple d'ensemble \(\mathbf{E}\) formé de trois points.
b. Est-ce que E peut contenir plus de trois points? Justifier. - Dans cette question \(\mathbf{E}\) est un ensemble de points de l'espace possédant la même propriété qu'à la question 1. Quel est le nombre maximum de points de E?
- Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3 et \(\mathcal{C}\) un cercle donné. Montrer qu'il est possible de construire \(n\) points du cercle \(\mathcal{C}\) tels que les distances entre deux quelconques de ces points soient toutes différentes.
- a) Un triangle équilatéral fait l'affaire.
b) \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) et D quatre points de \(\mathrm{E} . \mathrm{ABC}\) et ABD sont équilatéraux. C et D étant distincts ils sont symétriques par rapport à ( AB ). On a alors \(C D=A B \sqrt{3} \neq A B\). Il est donc impossible que E contienne quatre points ni davantage par conséquent. - E peut contenir 4 points (tétraèdre régulier) mais pas davantage comme le montrerait un raisonnement semblable au 1b.
- On peut construire facilement 3 points sur le cercle vérifiant la propriété. Il suffit que le triangle formé par ces 3 points ne soit pas isocèle. Donc si A et B sont donnés, C ne doit pas occuper la position des points M, N, P ou Q, obtenus en tracant la médiatrice du segment [AB], le cercle de centre A passant par B et le cercle de centre B passant par A .
Si l'on souhaite placer un quatrième point il faudra éviter \(\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}\) et Q mais aussi les quatre points construits à partir de [AC] et les quatre autres construits à partir de [BC]. On met donc en place un algorithme de construction : si \(n\) points sont déjà placés sur le cercle formant entre eux un nombre fini \(N\) de segments \(\left(N=\frac{n(n-1)}{2}\right)\), le nombre de points à éliminer pour placer un point