Exercice 2

Sujet

Puzzle

Figure 1

Figure 2

Figure 3

Dans un carré donné, on découpe à chaque sommet un triangle rectangle isocèle comme l'indique la figure 1. Tous les triangles rectangles isocèles ont les mêmes dimensions.

1. Comment choisir le petit côté des triangles rectangles isocèles pour que l'aire totale de ces quatre triangles représente la moitié de l'aire totale du carré?
2. a. Comment choisir le petit côté des triangles rectangles isocèles pour que l'aire totale de ces quatre triangles représente le quart de l'aire totale du carré?
   b. Observer alors la figure 2 et expliquer pourquoi elle permet de construire facilement à l'aide d'un compas la solution de cette question.
3. Lorsqu'on a découpé les quatre triangles rectangles, la figure qui subsiste, lorsqu'ils ne sont pas trop grands, est un octogone (figure à huit côtés). Comment choisir le petit côté des triangles rectangles isocèles pour que l'octogone final soit régulier (c'est-à-dire une figure inscriptible dans un cercle dont les huit côtés sont égaux).
   A présent, on considère le puzzle de la figure 3 , constitué d'un carré central, de quatre triangles de mêmes dimensions et de quatre pentagones de mêmes dimensions.
4. Comment procéder pour que l'aire de chacun des quatre pentagones soit égale à l'aire du carré central? Dessiner alors la solution en choisissant bien le côté du carré central.