Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2010 Besançon

Sujet

Développement égyptien d'une fraction

Dans l 'antiquité, les Égyptiens n'utilisaient que des fractions dont le numérateur était 1, comme \(\frac{1}{3}, \frac{1}{8}, \frac{1}{13} \cdots\)
Ils pouvaient décomposer toute autre fraction (comme \(\frac{31}{13}\) ) en somme d'un entier et de fractions de ce type selon l'algorithme suivant :

on calcule le quotient entier de 31 par 13 : on obtient 2
On calcule alors \(\frac{31}{13}-2=\frac{5}{13}\);
Le plus petit entier \(n\) tel que \(\frac{1}{n} \leqslant \frac{5}{13}\) est 3 , et \(\frac{5}{13}-\frac{1}{3}=\frac{2}{39}\);
le plus petit entier \(n\) tel que \(\frac{1}{n} \leqslant \frac{2}{39}\) est 20 , et \(\frac{2}{39}-\frac{1}{20}=\frac{1}{780}\)

Ainsi, \(\frac{31}{13}=2+\frac{1}{3}+\frac{1}{20}+\frac{1}{780}\) est le «développement égyptien » de \(\frac{31}{13}\).
On admettra que cette écriture existe et est unique.

Déterminer le développement égyptien des fractions \(\frac{3}{4}, \frac{8}{15}, \frac{18}{7}\) et \(\frac{2009}{2010}\).
L'écriture \(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\) est-elle le développement égyptien d'une fraction?
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels tels que \(2 \leqslant a

À quelle condition l'écriture \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) est-elle le développement égyptien d'une fraction ?
4. Déterminer le plus petit entier \(n \geqslant 11\) tel que \(\frac{1}{11}+\frac{1}{n}\) est un développement égyptien.

On obtient, par l'algorithme ci-dessus :
\(\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}, \frac{8}{15}=\frac{1}{2}+\frac{1}{30}, \frac{18}{7}=2+\frac{4}{7}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{14}\).
Pour \(\frac{2009}{2010}\), les calculs sont plus longs!
La question était dure mais les premiers calculs effectués nous donnent déjà satisfaction...
Avec une calculatrice, on obtient successivement

\[ \begin{aligned} \frac{2009}{2010} & =\frac{1}{2}+\frac{502}{1005}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{167}{1005}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{164}{7035} \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{17}{302505}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{17795}+\frac{2}{1076615295} \end{aligned} \]

Et pour réduire \(\frac{2}{1076615295}\), une jolie astuce. Comme le plus petit entier \(n\) tel que \(\frac{1}{n} \leqslant \frac{2}{2 p+1}\) est \(p+1\) et que \(\frac{2}{2 p+1}=\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(2 p+1)(p+1)}\), il vient avec \(p=538397647\)

\[ \frac{2}{1076615295}=\frac{1}{538397648}+\frac{1}{1076615295 \times 538397648} \]