Exercice 5 — Énoncé — Olympiades 2010 Amiens

Sujet

La ficelle coupée en deux

Une ficelle de longueur \(L\) est coupée en deux morceaux; avec l'un d'eux, on forme un cercle et avec l'autre un carré.
À quel endroit doit-on couper la ficelle pour que la somme des aires du disque et du carré soit minimale?

Soient \(a\) et \(b\) les longueurs des deux morceaux.
L'aire du disque est \(\pi\left(\frac{a}{2 \pi}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4 \pi}\),
celle du carré \(\left(\frac{b}{4}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{16}\),
et on a \(b=L-a\).
On doit donc minimiser : \(\frac{a^{2}}{4 \pi}+\frac{(L-a)^{2}}{16}\) ou \(4 a^{2}+(L-a)^{2} \pi=a^{2}(4+\pi)-2 a L \pi+L^{2} \pi\), ou encore \(a^{2}-\frac{2 a L \pi}{4+\pi}+\frac{L^{2} \pi}{4+\pi}\) qui est égal à \(\left(a-\frac{L \pi}{4+\pi}\right)^{2}-\left(\frac{L \pi}{4+\pi}\right)^{2}+\frac{L^{2} \pi}{4+\pi}\);
Cette fonction de \(a\) est minimum pour \(a=\frac{L \pi}{4+\pi}\) et alors : \(b=\frac{4 L}{4+\pi}\).