Exercice 4 — Énoncé — Olympiades 2010 Amiens

Sujet

Le damier

Un tableau carré a 2010 lignes (numérotées de 1 à 2010 ) et 2010 colonnes (numérotées de 1 à 2010 ). Ses cases sont peintes en blanc ou noir, comme celles d'un damier; et la case située au croisement de la ligne 1 et de la colonne 1 est noire.
Dans chaque case, on écrit le produit du numéro de sa ligne et du numéro de sa colonne.
On note \(N\) la somme des nombres inscrits dans les cases noires et \(B\) la somme des nombres inscrits dans les cases blanches.

On pose \(N_{i}\) la somme des nombres inscrits dans les cases noires de la \(i^{\text {ème }}\) ligne et \(B_{i}\) la somme des nombres inscrits dans les cases blanches de la \(i^{\text {ème }}\) ligne.
a. Montrer que \(N_{1}-B_{1}=-1005\) et \(N_{2}-B_{2}=2 \times 1005\).
b. Plus généralement, montrer que \(N_{i}-B_{i}=\lambda \times i \times 1005\) avec \(\lambda=1\) lorsque le numéro de la ligne est pair, et \(\lambda=-1\) lorsque le numéro de la ligne est impair.
En déduire que \(N-B=1005^{2}\)

a. On a \(N_{1}=(1+3+5+\cdots+2009)\) et \(B_{1}=(2+4+6+\cdots+2010)\)

D'où \(N_{1}-B_{1}=((1-2)+(3-4)+\cdots(2009-2010))\) somme de 1005 termes égaux à -1, donc
\(N_{1}-B_{1}=-1005\).
Puis \(N_{2}=2(2+4+6+\cdots+2010)=2 B_{1}\) et \(B_{2}=2(1+3+5+\cdots+2009)=2 N_{1}\).
Donc \(N_{2}-B_{2}=2\left(B_{1}-N_{1}\right)=2 \times 1005\)
b. - Si \(i\) est pair, on peut poser \(i=2 p\) et on a : \(n_{2 p}=2 p(2+2+\cdots+2010)=2 p B_{1}\) et
\(B_{2 p}=2 p(1+3+5+\cdots+2009)=2 p N_{1}\), donc \(N_{2 p}-B_{2 p}=2 p\left(B_{1}-N_{1}\right)=i \times 1005\).

Si \(i\) est impair, on pose \(i=2 p+1\) et on a \(N_{2 p+1}=(2 p+1)(1+3+\cdots+2009)=(2 p+1) N_{1}\) et \(B_{2 p+1}=(2 p+1)(2+4+\cdots+2010)=(2 p+1) B_{1}\)
Donc \(N_{2 p+1}-B_{2 p+1}=(2 p+1)\left(N_{1}-B_{1}\right)=-(2 p+1) \times 1005=-i \times 1005\).

\(N-B=\sum_{i=1}^{2010}\left(N_{i}-B_{i}\right)=\sum_{p=0}^{1004}\left(N_{2(p+1)}-B_{2(p+1)}\right)+\sum_{p=0}^{1004}\left(N_{2 p+1}-B_{2 p+1}\right)\)

\[ =1005 \sum_{p=0}^{1004}(2(p+1)-2(p+1))=1005 \sum_{p=0}^{1004} 1=1005 \times 1005 . \]