Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2010 Amiens

Sujet

Une fonction étrange

Soit \(f\) la fonction qui à tout couple d'entiers naturels ( \(x ; y\) ) associe l'entier naturel tel que :
\(f(0 ; y)=y+1, f(x ; 0)=f(x-1 ; 1), f(x+1 ; y+1)=f(x ; f(x+1 ; y))\)
Calculer \(f(2 ; 1)\) et \(f(2 ; 2)\).

\[ \begin{aligned} & f(1 ; 0)=f(0 ; 1)=2 \\ & f(2 ; 0)=f(1 ; 1)=f(0 ; f(1 ; 0))=f(0 ; 2)=3 \\ & f(1 ; 2)=f(0 ; f(1 ; 1))=f(0 ; 3)=4 \\ & f(2 ; 1)=f(1 ; f(2 ; 0))=f(1 ; 3)=f(0 ; f(1 ; 2))=f(0 ; 4)=5 \\ & f(1 ; 4)=f(0 ; f(1 ; 3))=f(0 ; 5)=6 \\ & f(2 ; 2)=f(1 ; f(2 ; 1))=f(1 ; 5)=f(0 ; f(1 ; 4))=f(0 ; 6)=7 . \end{aligned} \]