Sujet
Le soupirail
Un soupirail a la forme d'un demi-cercle. A partir d'une certaine hauteur \(x\), on installe trois barres de sécurité de longueur 24, 48 et 60 cm , espacées de la même distance \(d\).
- Calculer le rayon \(R\) du soupirail.
- On souhaite ajouter une quatrième barre sous la barre de 60 cm , toujours à la distance \(d\). Quelle longueur doit-on prendre?
- Par Pythagore, \(R^{2}=30^{2}+x^{2}=24^{2}+(x+d)^{2}=12^{2}+(x+2 d)^{2}\)
d'où
\[ \left\{\begin{aligned} d^{2}+2 d x & =30^{2}-24^{2}=6 \times 54 \\ 4 d^{2}+4 d x & =30^{2}-12^{2}=18 \times 42 \end{aligned}\right. \]
puis \(2 d^{2}=18 \times 42-12 \times 54=2 \times 54, d^{2}=54, d=3 \sqrt{6}\)
puis \(d x=135\) et \(x=\frac{9 \sqrt{6}}{2}\)
et \(R^{2}=1237,5\) d'où \(R=\sqrt{1237,5}\)
2. La longueur \(\ell\) de la quatrième barre doit satisfaire :
\(R^{2}=\left(\frac{\ell}{2}\right)^{2}+(x-d)^{2}\) d'où \(\ell^{2}=4\left(4 x d+24^{2}\right)=4\left(540+24^{2}\right)\)
et \(\ell=12 \sqrt{31}\)