Exercice 1

Sujet

On considère une fonction numérique \(f\) définie pour \(x \in] 0 ;+\infty[\), à valeurs dans \(\mathbf{R}\), dont on donne le tableau de valeurs suivant :

\(x\)	\(f(x)\)
2	3,0103
3	4,7712
4
5	6,9897
6	7,7815
7	8,4510
8
9
10
100
1000
1000000
\(10^{9}\)

Cette fonction vérifie la propriété suivante :
Pour tous nombres réels strictement positifs \(x\) et \(y\), \(f(x \times y)=f(x)+f(y)\).
Ainsi, par exemple, l'image de 6 par la fonction \(f\) est :
\(f(6)=f(2 \times 3)=f(2)+f(3)=3,0103+4,7712=7,7815\).

Partie A. Étude mathématique

1. Determiner \(f(4)\) puis recopier sur votre copie et completer la table precedente.
2. Calculer \(f(245)\).
3. Quelle est l'image de 1 par cette fonction?
4. Démontrer que, pour tout nombre réel strictement positif \(y\), \(f\left(\frac{1}{y}\right)=-f(y)\)

Partie B. Application

Un décibel (dB) est une unité servant à exprimer l'intensité acoustique d'un son. Pour simplifier, sur l'échelle des décibels (qui n'est pas linéaire), le son audible le plus faible (silence presque total) auquel nous affectons l'indice 1 mesure 0 dB . Par exemple, un son d'indice 5 ( 5 fois plus fort !) s'élève à presque 7 dB .
En réalité, la fonction de la partie A . fait correspondre à l'indice de l'intensité d'un son perçu par une personne sa mesure en décibel.

1. Justifier que si l'indice d'intensité d'un son donné est décuplé, la mesure en dB de celui-ci augmente de 10 dB .
2. Une conversation normale est mesurée à 60 dB . À quel indice d'intensité cela correspond-il?
3. Un son commence à devenir douloureux au-delà de 80 dB et dangereux à partir de 100 dB . Le son en discothèque est souvent de 110 dB . À quel indice d'intensité cela correspond-il?
4. Dans un supermarché vous êtes face à deux lave-vaisselles. Le produit A fait un bruit mesuré à 39 dB alors que le produit B est mesuré à 36 dB . Vous discutez avec un commercial en lui disant que vous préférez la machine B car moins bruyante, mais ce vendeur qui doit absolument écouler son stock de machine A vous répond « Oh! Pour 3 petits décibels, ça ne change pas grand chose…». En calculant le rapport des intensités, trouver un argument à opposer au vendeur.