Sur quoi portaient vraiment les travaux de Maryam Mirzakhani ?

Une vulgarisation pour curieux de mathématiques, niveau Terminale Maths Expertes

Introduction

Le jury de la médaille Fields a récompensé Maryam Mirzakhani en 2014 pour ses travaux sur « la dynamique et la géométrie des surfaces de Riemann et leurs espaces de modules ». Cette phrase, prise isolément, ne dit pas grand-chose. Elle condense pourtant toute une histoire : celle d'une mathématicienne qui a réussi à calculer des quantités que personne n'arrivait à calculer, en inventant une méthode qui découpe des objets géométriques très complexes en morceaux simples, puis les recolle intelligemment.

L'objectif de cet article est de reconstruire, étape par étape, ce que ces mots signifient, en partant de notions que vous connaissez déjà (nombres complexes, récurrence, dénombrement) pour arriver jusqu'aux idées de Mirzakhani. On ne fera pas de démonstrations rigoureuses — certaines de ces notions demandent plusieurs années d'études supérieures — mais on construira une intuition solide et honnête.

Portrait : le chemin d'une lycéenne de Téhéran

Avant d'entrer dans les mathématiques elles-mêmes, il vaut la peine de savoir d'où elle partait — parce que rien, au départ, ne la destinait à devenir médaille Fields.

Enfant, Maryam Mirzakhani ne rêvait pas de mathématiques : elle voulait devenir écrivaine, et passait son temps à lire. Le déclic est arrivé presque par hasard, au collège, quand elle et sa meilleure amie Roya Beheshti sont tombées sur une feuille de six problèmes d'Olympiades de mathématiques traînant quelque part dans leur établissement. Maryam en a résolu trois. Aucune fille n'avait jamais représenté l'Iran aux Olympiades internationales de mathématiques : les cours de préparation n'existaient que pour les garçons. Les deux amies sont quand même allées voir la directrice de leur lycée pour demander qu'on leur ouvre des cours de résolution de problèmes. La directrice a accepté, avec une phrase qui résume bien l'esprit qu'il a fallu pour ouvrir cette voie : vous serez les premières, mais vous pouvez y arriver. Deux ans plus tard, en 1994, Maryam devenait la première Iranienne médaillée d'or aux Olympiades internationales ; l'année suivante, elle décrochait un score parfait. Roya Beheshti, elle, obtenait l'argent — et les deux amies sont restées proches toute leur vie, jusqu'aux États-Unis, où Maryam a étudié à Harvard pendant que Roya rejoignait le MIT.

Le reste de son parcours confirme cette idée qu'aucune trajectoire n'est jamais toute tracée à l'avance. En 2013, alors qu'elle était déjà professeure à Stanford, mère d'une petite fille, et en train de mener les recherches qui allaient bouleverser son domaine, elle a appris qu'elle avait un cancer du sein. L'année suivante, en 2014, c'est en pleine chimiothérapie qu'elle a reçu la médaille Fields à Séoul — la première femme et la première personne iranienne à l'obtenir. Elle a continué à travailler, publier et encadrer des doctorants presque jusqu'à sa mort en 2017. Ses collègues se souviennent d'une chercheuse patiente, qui dessinait à la main de grandes feuilles couvertes de surfaces découpées en morceaux — une méthode de travail qu'elle disait tenir de son enfance, quand dessiner et raconter des histoires était encore sa façon préférée de comprendre le monde.

1. Des nombres complexes aux surfaces de Riemann

Vous connaissez le plan complexe ℂ : chaque point est un nombre a + ib, et on peut y faire de l'analyse — dériver des fonctions, étudier des limites. Une fonction f définie sur (un morceau de) ℂ est dite holomorphe si elle est dérivable au sens complexe en tout point, exactement comme une fonction d'une variable réelle est dérivable en un point : la limite du taux d'accroissement (f(z+h) − f(z))/h doit exister quand h tend vers 0, sauf qu'ici h est un nombre complexe qui peut tendre vers 0 « depuis toutes les directions » du plan (et pas seulement par la gauche ou par la droite comme sur ℝ). Cette exigence, bien plus forte qu'en variable réelle, donne aux fonctions holomorphes des propriétés remarquables (elles sont automatiquement infiniment dérivables, développables en série entière, etc.). Retenez simplement : holomorphe = dérivable au sens complexe, et c'est cette notion de dérivation qu'on veut pouvoir transporter sur des surfaces plus générales que le plan.

Une surface de Riemann est, en gros, une surface sur laquelle on peut faire le même genre d'analyse complexe localement — autour de chaque point, la surface « ressemble » à un petit morceau du plan complexe (on peut y installer des coordonnées complexes locales), même si globalement elle a une forme très différente, avec des trous, une courbure, etc.

Les exemples les plus simples :

• la sphère (comme la surface de la Terre) ;
• le plan complexe ℂ lui-même ;
• le tore, c'est-à-dire la surface d'une bouée ou d'un donut ;
• plus généralement, une surface à g trous (g anneaux soudés), qu'on appelle une surface de genre g. Le tore est le cas g = 1.

Ce nombre g, le genre, est l'invariant topologique fondamental : deux surfaces de même genre peuvent être déformées l'une en l'autre sans déchirure ni recollement (on dit qu'elles sont homéomorphes). C'est le même g qui apparaît dans toutes les formules qu'on va voir.

Mirzakhani s'intéressait aux surfaces de genre g ≥ 2, munies en plus d'une géométrie hyperbolique — ce qu'on explique maintenant.

2. Une géométrie où les parallèles n'existent (presque) pas

Vous connaissez la géométrie euclidienne classique : par un point extérieur à une droite, il passe une unique parallèle à cette droite. C'est le fameux 5ᵉ postulat d'Euclide. Pendant plus de deux mille ans, les mathématiciens ont cru que c'était une conséquence obligée des autres axiomes — jusqu'à ce qu'on découvre, au XIXᵉ siècle (Gauss, Lobatchevski, Bolyai), qu'on peut construire des géométries parfaitement cohérentes où ce postulat est faux. La géométrie hyperbolique en est une.

Qu'est-ce que la courbure ?

La courbure en un point d'une surface mesure à quel point cette surface s'écarte d'un plan au voisinage de ce point. On peut la sentir très concrètement en regardant comment se comportent des triangles (dont les côtés sont les chemins les plus courts, voir plus bas) :

• sur un plan (courbure nulle), la somme des angles d'un triangle vaut toujours exactement 180°, comme vous le savez depuis le collège ;
• sur une sphère (courbure positive), la surface se referme sur elle-même comme un ballon ; un triangle tracé dessus a une somme des angles supérieure à 180° (pensez à un triangle avec un sommet au pôle Nord et deux sommets sur l'équateur : il a déjà deux angles droits à l'équateur !) ;
• sur une selle de cheval ou une chips Pringles (courbure négative), la surface s'évase dans deux directions opposées à la fois (elle monte dans un sens, descend dans l'autre) ; un triangle tracé dessus a une somme des angles inférieure à 180°.

La géométrie hyperbolique est justement la géométrie d'une surface à courbure négative constante en tout point — comme si on prenait une selle de cheval infiniment grande et parfaitement régulière. On peut la modéliser très concrètement avec le disque de Poincaré : un disque ouvert dans lequel on redéfinit la distance de sorte que les bords du disque soient « à l'infini » (plus on s'approche du bord, plus les distances réelles qu'on parcourt sont énormes, même si elles semblent courtes sur le dessin).

Un mot sur les géodésiques

Une géodésique est, en langage simple, le chemin le plus court entre deux points d'une surface — l'équivalent d'une ligne droite, mais adapté à une surface courbe. Sur un plan, les géodésiques sont bien les droites habituelles. Sur une sphère (la Terre, par exemple), les géodésiques sont les grands cercles : c'est pour cela qu'un avion Paris–Tokyo survole la Sibérie plutôt que de suivre une ligne droite sur une carte plate — le chemin le plus court sur une sphère n'est pas une droite au sens usuel. Dans le disque de Poincaré, les géodésiques sont des arcs de cercle perpendiculaires au bord du disque.

À quoi ça sert ? Un lien avec la physique

Cette idée que l'espace lui-même peut être « courbé » n'est pas qu'une curiosité mathématique : c'est le cœur de la relativité générale d'Einstein (1915). Dans cette théorie, la gravité n'est plus une force qui agit à distance comme chez Newton, mais un effet de la courbure de l'espace-temps provoquée par la présence de masse et d'énergie : une planète ne « tombe » pas vers le Soleil, elle suit tout simplement une géodésique dans un espace-temps courbé par la masse du Soleil. Les rayons lumineux qui sont déviés au voisinage d'une étoile massive (un phénomène observé dès 1919 et qui a rendu Einstein célèbre) suivent eux aussi des géodésiques d'un espace courbé — exactement le même concept que celui qu'on utilise ici pour des surfaces beaucoup plus simples. La géométrie hyperbolique en particulier apparaît dans plusieurs modèles cosmologiques d'univers à courbure négative, et ses outils (distances, géodésiques, groupes de symétries) sont directement transposés en physique théorique.

Pourquoi s'intéresser à cette géométrie sur nos surfaces à g trous ? Parce qu'un théorème fondamental — le théorème d'uniformisation — dit que toute surface de genre g ≥ 2 admet une (en fait, une infinité de) métrique(s) hyperbolique(s), c'est-à-dire une façon de mesurer les distances dessus qui rend la courbure constamment négative. C'est un peu l'analogue, pour les surfaces à plusieurs trous, du fait que la sphère porte naturellement une géométrie à courbure positive.

Un résultat que vous pouvez retenir sans démonstration, la formule de Gauss-Bonnet : l'aire totale d'une surface hyperbolique fermée de genre g vaut toujours

Aire = 2π(2g − 2).

Elle ne dépend donc que du genre, jamais de la façon précise dont on a « façonné » la surface. C'est un premier indice que quelque chose de rigide coexiste avec quelque chose de très flexible : l'aire est fixée, mais la forme, elle, peut varier énormément.

3. Classer toutes les formes possibles : l'espace des modules

Voici le cœur du sujet. Une surface de genre g admet une infinité de métriques hyperboliques différentes : on peut « étirer » certaines parties, « resserrer » d'autres, sans jamais changer le genre ni l'aire totale. Deux telles métriques peuvent donner des surfaces qui semblent identiques topologiquement mais qui sont géométriquement très différentes (des géodésiques de longueurs différentes, une courbure répartie différemment, etc.).

L'espace des modules, noté Mg, est l'ensemble de toutes ces formes possibles pour une surface de genre g donnée, où l'on considère que deux surfaces identiques à une isométrie près (une transformation qui préserve les distances) représentent le même point. Chaque point de Mg n'est donc pas un point géométrique ordinaire : c'est une surface hyperbolique tout entière, considérée comme un seul objet.

C'est un changement de niveau d'abstraction : on ne travaille plus sur une surface, mais sur l'ensemble de toutes les surfaces possibles. Un peu comme si, au lieu d'étudier un triangle particulier, on étudiait l'ensemble de tous les triangles possibles, chacun représenté par un point d'un espace des paramètres (par exemple ses trois angles).

Quelle est la dimension de cet espace ? C'est ici qu'intervient un outil combinatoire très concret : la décomposition en pantalons.

4. Découper pour mieux régner : pantalons et coordonnées de Fenchel-Nielsen

Un pantalon (« pair of pants » en anglais) est simplement une sphère à laquelle on a retiré trois disques : elle a trois bords, un peu comme un pantalon a une taille et deux jambes. C'est la brique de base la plus simple en géométrie hyperbolique : à trois longueurs de bord fixées, il existe une unique façon de munir un pantalon d'une métrique hyperbolique.

Or, on peut démontrer que toute surface fermée de genre g se découpe en 2g − 2 pantalons, en la coupant le long de 3g − 3 courbes fermées simples disjointes (des « géodésiques de découpe »). C'est un fait purement topologique : imaginez que vous coupez un bretzel à g trous suivant des cercles bien choisis jusqu'à ne plus obtenir que des morceaux en forme de pantalon.

Une fois la surface découpée, on peut la reconstruire en recollant les pantalons bord à bord. Pour décrire complètement comment on recolle, il faut deux types d'information pour chacune des 3g − 3 courbes de découpe :

• sa longueur (un nombre réel positif) ;
• son angle de torsion, c'est-à-dire de combien on fait « tourner » un bord avant de le recoller à l'autre (un nombre réel, car on peut tourner autant de fois qu'on veut).

Cela donne 3g − 3 longueurs + 3g − 3 torsions = 6g − 6 paramètres réels. Ce sont les coordonnées de Fenchel-Nielsen, et elles montrent que l'espace des modules (plus précisément son revêtement, l'espace de Teichmüller) a pour dimension 6g − 6.

Ce nombre 6g − 6 n'est donc pas mystérieux : c'est un résultat de dénombrement de paramètres, exactement comme on compterait le nombre de degrés de liberté d'un système articulé. Pour g = 2 par exemple, cela fait 6 paramètres : on peut visualiser l'espace des modules comme une sorte de « paysage » à 6 dimensions, où chaque point est une surface à deux trous entièrement déterminée.

5. Le tour de force de Mirzakhani : un volume calculé par récurrence

L'espace des modules Mg, muni des coordonnées de Fenchel-Nielsen, peut être équipé d'une notion de volume : le volume de Weil-Petersson, noté Vg. Intuitivement, c'est une façon de mesurer « combien de formes possibles » il y a, en pondérant chaque forme selon une règle géométrique naturelle (issue de la structure symplectique de l'espace).

D'où vient ce nom ? Il combine deux mathématiciens qui n'ont jamais travaillé ensemble sur ce sujet précis. André Weil (1906–1998) est un mathématicien français, l'un des tout premiers membres fondateurs du groupe Bourbaki en 1935 (ce collectif de mathématiciens qui a entrepris de refonder les mathématiques françaises sur des bases rigoureuses et axiomatiques — vous avez peut-être déjà croisé son nom sur le blog, à propos d'autres articles d'histoire des maths). Il était aussi le frère de la philosophe Simone Weil. C'est lui qui, dans les années 1950, a eu l'idée de munir l'espace de Teichmüller d'une structure géométrique (une métrique dite « kählérienne ») en s'inspirant d'un produit scalaire déjà connu sur les fonctions modulaires. Hans Petersson (1902–1984), mathématicien allemand, est justement l'auteur de ce produit scalaire — le produit de Petersson —, introduit dans les années 1930 pour étudier les formes modulaires (des fonctions très structurées liées, entre autres, à la théorie des nombres). Le nom « Weil-Petersson » associe donc l'idée de Weil à l'outil de Petersson, bien que les deux hommes ne se soient jamais associés sur un article commun : c'est la communauté mathématique qui a accolé leurs deux noms après coup.

Avant Mirzakhani, on savait que ce volume existait et on avait quelques valeurs calculées à la main pour les tout petits genres, mais aucune méthode systématique ne permettait de le calculer en général. C'est l'objet de sa thèse de doctorat (Harvard, 2004).

Son idée-clé : utiliser exactement la décomposition en pantalons décrite plus haut, mais en la retournant en outil de calcul. Si l'on coupe une surface le long d'une géodésique de longueur L, on obtient une (ou deux) surface(s) plus simple(s), de genre inférieur ou avec moins de bords. Mirzakhani a montré que le volume de Weil-Petersson de la surface complexe se retrouve en intégrant, sur toutes les longueurs L possibles, une combinaison des volumes des surfaces plus simples obtenues après découpe.

L'exemple le plus simple : le tore à un trou. Prenons un tore (genre 1) auquel on a retiré un petit disque, de sorte qu'il ait un bord, de longueur fixée L₀ (imaginez un donut avec un petit trou percé sur le dessus). Cette surface a 3g − 3 + n = 3(1) − 3 + 1 = 1 courbe de découpe possible. Choisissez, sur le donut, le cercle intérieur qu'il faut longer pour « déplier » le tore — celui qui, si on le coupe, transforme le donut en un simple tube (un cylindre). En recoupant ce tube au niveau du trou d'origine, on obtient... un unique pantalon ! Ses trois bords sont : le bord d'origine, de longueur L₀, et deux copies du même bord de découpe, chacune de longueur L (les deux faces créées par la coupe, qui étaient collées l'une à l'autre avant de couper).

Mirzakhani a montré que le volume V₁,₁(L₀) de l'espace des modules de ce tore à un trou s'obtient en intégrant, sur toutes les longueurs L possibles (de 0 à l'infini) que peut prendre cette courbe de découpe, une expression qui ne dépend que du pantalon obtenu — avec un petit facteur 1/2 dû au fait que les deux bords de longueur L jouent un rôle symétrique (échanger les deux moitiés du cylindre coupé donne la même configuration). C'est l'exemple le plus simple possible de la récursion : un seul niveau de découpe suffit, et il illustre déjà l'idée générale — pour une surface plus compliquée (genre plus élevé, plus de bords), on répète la même opération plusieurs fois, chaque découpe faisant baisser la complexité jusqu'à n'avoir plus que des pantalons, dont le volume est... simplement égal à 1 (le pantalon est la brique de base, rigide, qui sert de point de départ à la récurrence).

C'est le même principe qu'une relation de récurrence que vous manipulez déjà en mathématiques : le volume au rang « g pantalons » s'exprime en fonction des volumes à des rangs inférieurs, avec une formule explicite. La différence, c'est que la « récurrence » porte ici sur des polynômes en plusieurs variables (les longueurs des bords) et non sur de simples nombres — mais l'esprit est le même : réduire un problème compliqué à des cas plus simples déjà résolus.

Grâce à cette récurrence, Mirzakhani a montré que Vg(L₁, …, Lₙ), le volume de l'espace des modules des surfaces de genre g à n bords de longueurs L₁, …, Lₙ, est toujours un polynôme en les Lᵢ² (les carrés des longueurs), de degré 6g − 6 + 2n, dont les coefficients sont eux-mêmes des nombres géométriques intéressants. C'était une découverte inattendue : personne ne se doutait que ces volumes, a priori très transcendants, avaient une structure polynomiale aussi propre.

6. Compter les chemins : les géodésiques fermées simples

Une géodésique fermée simple sur une surface hyperbolique est un chemin périodique (qui revient à son point de départ) qui ne se croise jamais lui-même — l'équivalent, sur une surface courbe, d'un cercle tracé « le plus droit possible ».

Une question naturelle, posée bien avant Mirzakhani : sur une surface donnée, combien y a-t-il de géodésiques fermées simples de longueur au plus R, quand R devient grand ? Pour les géodésiques fermées quelconques (qui peuvent se croiser), la réponse était connue depuis longtemps et croît de façon exponentielle en R. Mais pour les géodésiques simples, le comportement est très différent : Mirzakhani a démontré, en utilisant précisément ses formules de volume, que ce nombre croît polynomialement en R, comme une constante fois R^(6g−6), et elle a même déterminé cette constante précisément.

C'est un résultat de comptage extrêmement fin, rendu possible uniquement parce qu'elle disposait d'une formule exploitable pour les volumes de Weil-Petersson.

7. Un pont inattendu : la conjecture de Witten

Voici l'un des résultats les plus spectaculaires de sa thèse. Dans les années 1990, le physicien Edward Witten avait conjecturé une formule très profonde reliant certains nombres d'intersection sur l'espace des modules (les « classes psi ») à une famille d'équations aux dérivées partielles de la physique (la hiérarchie de Korteweg-de Vries, ou KdV), motivée par des questions de gravité quantique en 2 dimensions. Cette conjecture avait été démontrée en 1992 par Maxim Kontsevich, par une méthode combinatoire très différente et très technique (comptage de graphes en ruban).

Mirzakhani, en étudiant l'asymptotique de ses volumes de Weil-Petersson quand les longueurs des bords tendent vers l'infini, s'est rendu compte que le comportement limite de ses formules de volume redonnait exactement les nombres d'intersection de la conjecture de Witten. Elle a ainsi obtenu une deuxième démonstration, complètement indépendante et géométrique, d'un théorème déjà connu mais jugé difficile — ce qui, en mathématiques, a une grande valeur : cela révèle une connexion insoupçonnée entre deux mondes (la géométrie hyperbolique concrète d'un côté, la géométrie algébrique abstraite et la physique théorique de l'autre) qui n'avaient a priori aucune raison évidente de se rencontrer.

8. Billiards et le théorème de la « baguette magique »

Dans la seconde partie de sa carrière, Mirzakhani s'est tournée vers la dynamique, en particulier vers les billiards polygonaux : on imagine une balle qui rebondit indéfiniment à l'intérieur d'un polygone, sans frottement, selon la loi de réflexion habituelle (angle d'incidence = angle de réflexion). Une question centrale : que peut-on dire de la trajectoire à long terme ? Se répartit-elle uniformément dans le polygone, ou reste-t-elle confinée dans une région particulière ?

Ces billiards se traduisent, par une correspondance mathématique classique, en questions sur des surfaces munies de différentielles quadratiques — des objets qui vivent eux aussi dans des espaces de modules, cousins de ceux étudiés précédemment. Avec Alex Eskin, Mirzakhani a démontré un théorème de classification des orbites dans ces espaces (2013), surnommé le « Magic Wand Theorem » (le théorème de la baguette magique) par la communauté mathématique, en référence à la puissance de ses conséquences : d'un coup de baguette, il permet de résoudre d'un seul geste un grand nombre de questions ouvertes sur les billiards, en montrant que les trajectoires compliquées sont, malgré les apparences, très contraintes et suivent des règles rigides.

Ce résultat est l'analogue, dans le monde de la dynamique sur les espaces de modules, des théorèmes de rigidité que Marina Ratner avait établis dans les années 1990 pour les groupes de Lie — une comparaison qui donne la mesure de son importance : la preuve, très longue et technique, a demandé plusieurs années de travail commun.

Conclusion : pourquoi ce travail a-t-il marqué les mathématiques ?

Ce qui rend le travail de Mirzakhani remarquable n'est pas un unique théorème isolé, mais la façon dont une seule idée de départ — découper une surface hyperbolique en pantalons et recoller par récurrence — a permis de répondre à des questions dans des domaines qui semblaient sans rapport entre eux : le calcul explicite de volumes géométriques, le comptage asymptotique de courbes, une nouvelle preuve d'un théorème de physique théorique, et enfin des résultats de rigidité en dynamique des billiards.

C'est aussi un travail qui illustre une qualité rare en recherche : la patience de manier des objets extrêmement abstraits (des espaces dont les points sont eux-mêmes des surfaces entières) tout en gardant une intuition très concrète et dessinée à la main. Et comme le rappelle son parcours — d'une classe sans précédent pour les filles jusqu'à la médaille Fields reçue en pleine maladie — rien de tout cela n'était écrit d'avance : c'est une raison de plus pour laquelle son histoire mérite d'être connue autant que ses théorèmes.

Sources : rapport du jury de la médaille Fields (International Mathematical Union), article de synthèse « A tour through Mirzakhani's work on moduli spaces of Riemann surfaces » (Bulletin de l'AMS, 2020), article original « The Magic Wand Theorem of A. Eskin and M. Mirzakhani » (arXiv), Wikipédia (Fenchel–Nielsen coordinates, Witten conjecture), biographies d'André Weil (bibmath.net, Tangente Magazine) et de Hans Petersson (MacTutor History of Mathematics), biographie MacTutor History of Mathematics (parcours scolaire et Olympiades), Stanford Report (nécrologie et hommages, 2017).